Из условия задачи известно, что tg(A) = AH/CH = 1/5.

Так как угол A=arctg(1/5), у нас получается треугольник, в котором известны углы и одна сторона и нужно найти другую сторону.

Так как tg(A) = AH/CH = 1/5, мы можем записать соотношение сторон через катеты прямоугольного треугольника:

AH/CH = 1/5

CH = 5AH

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Применим теорему Пифагора для треугольника ABC:

AC^2 = 13^2 + CH^2

AC^2 = 169 + 25AH^2

Так как угол C=90 градусов, то AC является гипотенузой, и AC = AB/cos(A).

AC = 13/cos(arctg(1/5))

AC = 13/sqrt(1+1/25)

AC = 13/sqrt(26/25)

AC = 13*5/sqrt(26)

AC = 65/sqrt(26)

Теперь мы можем выразить AC через BC и CH, так как AC = BC + CH:

65/sqrt(26) = CH + 13

CH = 65/sqrt(26) - 13

CH = 65/sqrt(26) - 13sqrt(26)/26 sqrt(26)

CH = (65 - 13*sqrt(26))/sqrt(26)

Теперь подставим это выражение для CH в выражение AH/CH = 1/5:

AH / (65 - 13*sqrt(26))/sqrt(26) = 1/5

AH = (65 - 13*sqrt(26))/5

AH = (65 - 13*sqrt(26))/5

AH = 13*(5 - sqrt(26))

Таким образом, AH = 13*(5 - sqrt(26)).