Для решения данной задачи нам необходимо найти третий угол треугольника, зная два других угла.
Угол C = 180 - (20+40) = 120 градусов.

Затем мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны AC.
sinA / AB = sinC / AC
sin20 / 12 = sin120 / AC
sin20 / 12 = sin60 / AC
AC = 12 * sin60 / sin20 ≈ 20.78 см

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности R, используя формулу:
R = (AB AC BC) / (4 * S),
где S - площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:
S = 0.5 AB BC sinA = 0.5 12 20.78 sin40 ≈ 83.12

Теперь подставляем все значения в формулу для нахождения радиуса вписанной окружности:
R = (12 20.78 12) / (4 * 83.12) = 6.13 см

Итак, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен примерно 6.13 см.