Пусть длина ребра куба равна (a), тогда диагональ куба будет равна (\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2}).
Так как по условию диагональ длиннее ребра на 1 см, мы можем записать:
[\sqrt{3a^2} = a + 1]
Возводим обе части уравнения в квадрат:
[3a^2 = (a + 1)^2]
[3a^2 = a^2 + 2a + 1]
[2a^2 - 2a - 1 = 0]
Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: (a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) и (a = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}).
Так как длину ребра нельзя принять отрицательной, выбираем только положительное значение (a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}).

Теперь можем найти площадь полной поверхности куба. Площадь одной грани равна (a^2), а так как у куба 6 граней, общая площадь поверхности равна:
[6 \cdot a^2 = 6 \cdot \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3(1 + \sqrt{3})^2 = 6(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})]
[= 6(1 + 2\sqrt{3} + 3) = 6(4 + 2\sqrt{3}) = 24 + 12\sqrt{3}]
Таким образом, площадь полной поверхности куба равна (24 + 12\sqrt{3}) квадратных сантиметров.