Признаки подобия треугольников:

Углы, соответственные сторонам подобных треугольников равны.Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.Соответствующие высоты подобных треугольников пропорциональны.

Для нахождения отрезков, на которые биссектриса АД треугольника АВС делит сторону ВС, нам нужно воспользоваться теоремой углового биссектрисы.

Пусть BD - биссектриса угла ABC. Тогда из теоремы углового биссектрисы имеем:
AB/BC = AD/DC

Подставим известные значения сторон:
6/7 = AD/DC

Отсюда находим, что AD = 6DC/7 и BC = 7AD/6

Доказательство:
Пусть AB и CD - отрезки, параллельные стороне AC, причем их концы лежат на сторонах AB и BC соответственно. Пусть точка M - точка пересечения медианы BM и отрезка CD. Нам нужно доказать, что CM = MD.

Поскольку AB || CD, то по теореме Фалеса отрезки BM и MC делят стороны AB и BC пропорционально, то есть BM/MC = AD/CD.

Аналогично, так как AB || CD, отрезки AD и DC делят сторону AC пропорционально, то есть AD/CD = AM/MC.

Следовательно, BM/MC = AM/MC, откуда BM = AM и CM = MC, что и требовалось доказать.