Для решения данной задачи нам понадобится найти радиус вписанной в треугольную пирамиду сферы. Этот радиус будет равен расстоянию от вершины пирамиды до центра шара.

Рассмотрим вспомогательную пирамиду, вершиной которой является центр шара, а основанием - медиана треугольной грани пирамиды. Поскольку все рёбра пирамиды равны а, медиана также равна а, а значит, длина медианы равняется основанию треугольника. Угол между медианой (равной одному из рёбер) и слегка смещённой относительно этой медианы высотой равен 60 градусам.

Таким образом, мы можем разложить равносторонний треугольник на две прямоугольные треугольники с катетами длиной а/2. Далее, применяя теорему Пифагора, мы можем найти радиус шара:

r = √(l^2 + (a/2)^2),

где l - половина основания треугольной грани пирамиды. Так как треугольная грань пирамиды является равносторонним треугольником, то l равна косинусу 30 градусов, умноженному на a:

l = a * cos(30°).

Теперь можем подставить значение l в формулу для радиуса:

r = √((a * cos(30°))^2 + (a/2)^2).

После того, как мы найдем радиус вписанной в пирамиду сферы, можем использовать формулу для нахождения её площади:

S = 4 π r^2.

Это и будет искомая площадь шара вписанного в треугольную пирамиду.