Для начала нарисуем данную ситуацию:

Пусть точка O - центр окружности, а точки M, N, K и E расположены на окружности следующим образом:

N - точка касания MN к окружности
K - точка касания MK к окружности
E - точка деления отрезка OM в отношении 3:1

Также, пусть длина OM равняется 8 см (OM = 8).

Из условия задачи следует, что отрезок NK является хордой, который делит отрезок OM в отношении 3:1.
Пусть OE = 3x см и EM = x см.

Также, из свойств касательных к окружности следует, что отрезок ON равен отрезку OK.
Следовательно, точка N является серединой отрезка MK.

Теперь рассмотрим треугольник OMK.
В нем синус угла OMK можно представить как отношение половины хорды к радиусу окружности.

Синус угла OMK = sin(OMK) = MN / OM = MN / 8.

Также, так как OM является диаметром окружности, то угол OMK является прямым углом.

Таким образом, sin(OMK) = sin(90) = 1.
MN / 8 = 1,
MN = 8.

Теперь мы можем найти отрезок NK, зная что NE = 3x, EM = x и MN = 8.
По теореме Пифагора для треугольника MEN:

NM^2 = NE^2 + EM^2,
8^2 = (3x)^2 + x^2,
64 = 9x^2 + x^2,
64 = 10x^2,
x^2 = 6.4,
x = √6.4 = 2.53 см.

Теперь, длина отрезка NE равна:
NE = 3x = 3 * 2.53 = 7.6 см.

Учитывая, что MN = 8 см, мы имеем:
NK = MN - NE = 8 - 7.6 = 0.4 см.

Теперь находим синус угла NKE:
sin(NKE) = sin(NEK) = NK / NE = 0.4 / 7.6 = 0.0526.

Теперь находим градусную меру угла NKE:
NKE = arcsin(0.0526) ≈ 3 градуса.

Таким образом, градусная мера угла NK равна примерно 3 градуса.