Пусть AB и CD - параллельные стороны трапеции, а AD и BC - непараллельные. Пускай точка O - центр окружности, вписанной в трапецию.

Так как R - радиус окружности, то OA = OB = OC = OD = R. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Пусть x - длина основания трапеции AB. Тогда AO = OB = R, AB = x, так как AD || BC, то угол AOB = 90°.

По теореме Пифагора в треугольнике AOB:
AB^2 = AO^2 + OB^2
x^2 = R^2 + R^2
x^2 = 2R^2
x = sqrt(2) * R

Теперь найдем площадь трапеции. Пусть h - высота трапеции, проведенная из вершины A на основание BC. Площадь трапеции равна:
S = (AB + CD) h / 2
S = (AB + x) h / 2
S = (x + x) h / 2
S = 2x h / 2
S = x * h

Так как треугольник AOB - прямоугольный, то h = OQ, где Q - точка касания окружности с боковой стороной AD. Треугольники AOQ и OQD равны по гипотенузе и общему катету, поэтому AQ = QD = R.

Также AQ = x - AD, DQ = x - BC. Таким образом, AD + CD = AQ + QD = 2R = 2R = 2x
2R = 2sqrt(2) R
R = sqrt(2) R

Площадь трапеции равна:
S = x h
S = x 2R
S = 2sqrt(2) R 2R
S = 4sqrt(2) * R^2

Итак, площадь трапеции равна 4sqrt(2)R^2.