Диагональ куба равна $\sqrt{2} \times \text{сторона}$, где сторона - длина грани куба.

Так как диагональ грани равна $2\sqrt{2}$ см, то $2\sqrt{2} = \sqrt{2} \times \text{сторона}$. Делим обе стороны на $\sqrt{2}$, получаем $\text{сторона} = 2$ см.

Теперь находим объем куба: $V = \text{сторона}^3 = 2^3 = 8$ см$^3$.

Ответ: объем куба равен 8 см$^3$.