1) Пусть h - высота трапеции, a и b - длины её боковых сторон. Так как сумма острых углов трапеции равна 90град, то получаем, что угол между основаниями равен 90 град. Таким образом, трапеция является прямоугольной.
По теореме Пифагора:
a^2 + h^2 = b^2
Учитывая, что основы трапеции равны 9 см и 16 см:
9^2 + h^2 = 16^2
81 + h^2 = 256
h^2 = 256 - 81
h^2 = 175
h = √175
h = 5√7
Также, так как трапеция прямоугольная, то боковые стороны равны основаниям:
a = 9 см
b = 16 см

2) Пусть сторона ромба равна а. По теореме Пифагора для треугольника ABD:
a^2 = (AC)^2 + (BD)^2
a^2 = 12^2 + 16^2
a^2 = 144 + 256
a^2 = 400
a = 20

3) По свойствам равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне является также медианой и высотой. По теореме Пифагора:
(0.5 * a)^2 + 5^2 = 13^2
0.25a^2 + 25 = 169
0.25a^2 = 144
a^2 = 576
a = 24

4) Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то есть:
S = 0.5 d1 d2
S = 0.5 12 15
S = 90
Ответ: Площадь ромба равна 90 квадратных сантиметров.