Рассмотрим два прямоугольных треугольника с общим катетом (a) и высотой, опущенной на гипотенузу (h).

Пусть (b_1) и (c_1) - катеты первого треугольника, а (b_2) и (c_2) - катеты второго треугольника.

Из геометрии прямоугольного треугольника известно, что (b_1 = \frac{2S}{a}, \hspace{20pt} c_1 = \frac{2S}{a},)
(b_2 = \frac{2S}{h}, \hspace{20pt} c_2 = \frac{2S}{h},)
где (S) - площадь треугольника.

Так как площади обоих треугольников равны (поскольку они равны по катету и высоте, опущенной на гипотенузу), то
(\frac{2S}{a} = \frac{2S}{h} \Rightarrow a = h.)

Таким образом, прямоугольные треугольники с общим катетом и высотой, опущенной на гипотенузу, равны.