а) Длина диаметра найдется по формуле расстояния между двумя точками:
AB = √[(4 - (-4))^2 + (7 - 1)^2]
AB = √[(8)^2 + (6)^2]
AB = √[64 + 36]
AB = √100
AB = 10

б) Для нахождения координат центра окружности можно воспользоваться формулой середины отрезка:
x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов диаметра.
x = (-4 + 4) / 2 = 0
y = (1 + 7) / 2 = 4
Центр окружности имеет координаты (0;4).

в) Уравнение окружности можно записать в виде:
(x - х₀)² + (y - у₀)² = r²
где (x₀, y₀) - координаты центра окружности, r - радиус.

Так как диаметр равен 10, то радиус равен половине длины диаметра:
r = 10 / 2 = 5

Итак, уравнение окружности имеет вид:
(x - 0)² + (y - 4)² = 5²
x² + y² - 8y + 16 = 25
x² + y² - 8y - 9 = 0

Ответ:
а) Длина диаметра окружности равна 10.
б) Координаты центра окружности (0;4).
в) Уравнение окружности: x² + y² - 8y - 9 = 0.