Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой Пифагора.

По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
AB^2 = AC^2 - BC^2,
где AB - гипотенуза, AC и BC - катеты.

Из условия задачи, AC = 10 см и BC = 6 см.

Подставляем значения в формулу:
AB^2 = 10^2 - 6^2,
AB^2 = 100 - 36,
AB^2 = 64,
AB = √64,
AB = 8 см.

Теперь нам нужно найти проекцию катета BC на гипотенузу AB. Для этого можно воспользоваться подобием прямоугольных треугольников.

Пусть D - точка на гипотенузе AB, в которой проекция катета BC образует прямой угол с AB.

Тогда, по свойству подобия треугольников, соотношение сторон треугольников ABC и ABD будет следующим:
AC/AB = BC/BD.

Подставляем известные значения:
10/8 = 6/BD,
BD = 8*6/10,
BD = 4.8 см.

Таким образом, проекция катета BC на гипотенузу AB равна 4.8 см.