Пусть катеты треугольника равны a и b, гипотенуза - c, радиус окружности - r. Тогда известно, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр:

r = S / p,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Также известно, что S = r p, a b = r * (a + b + c).

Из условия задачи периметр равен 38 см, что равно a + b + c: a + b + sqrt(a^2 + b^2) = 38.

Решая систему уравнений a + b + sqrt(a^2 + b^2) = 38 и a b = 2 (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) получаем a = 12, b = 15.

Теперь можем найти гипотенузу треугольника: c = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(12^2 + 15^2) = sqrt(144 + 225) = sqrt(369) = 19.

Итак, гипотенуза треугольника равна 19 см.