Для начала найдем длину диагоналей четырехугольника АВСД.

Так как угол между диагоналями равен 60 градусов, то можно воспользоваться законом косинусов для треугольника:

д^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(угол С),

где d - диагональ, a и b - стороны треугольника.

Для АВС:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBC*cos(60°),

16^2 = 25^2 + BC^2 - 225BC*0.5,

256 = 625 + BC^2 - 25*BC,

BC^2 - 25*BC - 369 = 0.

Решив квадратное уравнение, получим BC ≈ 31.14.

Для АСД:
AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2ACCD*cos(60°),

AD^2 = 16^2 + 31.14^2 - 21631.14*cos(60°),

AD ≈ 29.85.

Так как AD = BC, то ДАВ и CДВ - равнобедренные треугольники.

Радиус описанной окружности четырехугольника можно найти через формулу:

R = (abc) / (4*S),

где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Посчитаем площадь треугольника АВС:

S_ABC = 0.5ab*sin(угол С),

S_ABC = 0.52531.14*sin(60°),

S_ABC ≈ 193.66.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

R = (2531.1416) / (4*193.66) ≈ 19.08.

Таким образом, радиус описанной окружности четырехугольника АВСД равен приблизительно 19.08.