Для доказательства этого факта рассмотрим правильный треугольник ABC и проведем из вершины A высоту AD на сторону BC.

Пусть точка M - середина стороны BC, то есть точка пересечения средней линии и высоты, проведенной из вершины A.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то точка M является серединой стороны BC и также делит ее на две равные части.

Проведем через точку M параллельную стороне AB, пересекающую сторону AC в точке E.

Таким образом, получаем прямоугольный треугольник ADE и трапецию BCED.

Площадь треугольника ADE равна половине площади треугольника ABC, так как высота треугольника ADE равна половине высоты треугольника ABC.

Площадь трапеции BCED равна сумме площадей треугольников BMC и EMC, так как M - середина стороны BC. Поэтому площадь треугольника BMC равна площади треугольника EMC и равна третьей части площади треугольника ABC.

Таким образом, площадь треугольника ADE равна трети площади трапеции BCED.

Следовательно, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.