Для нахождения площади трапеции ABCD воспользуемся формулой:

S = ((AB + CD) / 2) * h,

где AB и CD - основания трапеции, h - высота трапеции.

Высота трапеции h можно найти, разбивая трапецию на два треугольника: ABC и ACD. Рассмотрим треугольник ABC:

Так как AC - высота трапеции и она перпендикулярна к основаниям AB и CD, то треугольник ABC - прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину отрезка AC:

AC = √(BC^2 - AB^2) = √(13^2 - 10^2) = √(169 - 100) = √69.

Теперь рассмотрим треугольник ACD:

Так как AC - высота трапеции и основание AD - проекция этой высоты на основание CD, то и треугольник ACD - прямоугольный. Найдем длину отрезка AD:

AD = √(CD^2 - AC^2) = √(20^2 - 69) = √(400 - 69) = √331.

Таким образом, получаем, что высота трапеции равна √69 см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

S = ((AB + CD) / 2) h = ((10 + 20) / 2) √69 = 15 * √69 ≈ 106.74 см^2.

Ответ: Площадь трапеции ABCD составляет примерно 106.74 квадратных сантиметров.