Для начала найдем значение стороны bc с помощью теоремы косинусов:
$$bc^2 = ab^2 + ac^2 - 2ab \cdot ac \cdot \cos(\angle BAC)$$
$$bc^2 = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$$
$$bc^2 = 1 + 16 - 8 \cdot (-0.5)$$
$$bc^2 = 1 + 16 + 4 = 21$$
$$bc = \sqrt{21}$$

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:
$$S = \frac{1}{4} \sqrt{(ab + ac + bc)(ab + ac - bc)(ac + bc - ab)(ab + bc - ac)}$$
$$S = \frac{1}{4} \sqrt{(1 + 4 + \sqrt{21})(1 + 4 - \sqrt{21})(4 + \sqrt{21} - 1)(1 + \sqrt{21} - 4)}$$
$$S = \frac{1}{4} \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (-3)} = \frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{3}{2}$$

Также известно, что площадь треугольника равна произведению радиуса описанной окружности ( R ) на полупериметр треугольника ( p ):
$$S = R \cdot p$$

Полупериметр треугольника равен:
$$p = \frac{ab + ac + bc}{2} = \frac{1 + 4 + \sqrt{21}}{2}$$

Подставляем значения и находим радиус описанной окружности:
$$\frac{3}{2} = R \cdot \frac{1 + 4 + \sqrt{21}}{2}$$
$$R = \frac{3}{1 + 4 + \sqrt{21}} = \frac{3}{5 + \sqrt{21}} = \frac{3(5 - \sqrt{21})}{4}$$

Таким образом, радиус описанной окружности равен ( \frac{3(5 - \sqrt{21})}{4} ).