Пусть основание равнобедренного треугольника равно а, тогда высота проведенная из вершины, образует два прямоугольных треугольника с катетами а/2 и h, и один равнобедренный треугольник со сторонами а, h и h.

По условию, угол при вершине треугольника равен 30 градусам, поэтому биссектриса, проведенная из вершины, делит его на равнобедренные треугольники.

Так как у нас равнобедренный треугольник, высота h сразу же становится медианой, проведенной из вершины, и делит его на равнобедренные треугольники со сторонами а/2, h и h. Таким образом, выражаем его площадь S через стороны и высоту:

S = (а/2 * h)/2 + h^2

h = a tg(30) = a 1/√3

Площадь S = (а (а/2 1/√3))/2 + (а * 1/√3)^2 = 9 см^2.

Получаем уравнение:

(а^2/(2√3)) + (а^2/3) = 18

а^2*(1/(2√3) + 1/3) = 18

а^2*((3 + 2√3)/(6√3)) = 18

а^2 = 18 * (6√3/(3 + 2√3))

а = √(18 * (6√3/(3 + 2√3)))

а ≈ 8.66

Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника равна примерно 8.66 см.