Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, и третья прямая $c$, пересекающая их в точках $A$ и $B$ соответственно.

Обозначим углы между прямыми как $\angle 1$ и $\angle 2$. Пусть биссектриса угла $\angle 1$ пересечет прямую $b$ в точке $C$, а биссектриса угла $\angle 2$ пересечет прямую $a$ в точке $D$.

Так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются вертикальными углами, то они равны между собой.

Также, по свойствам биссектрисы угла, углы $\angle BCA$ и $\angle BDA$ равны между собой.

Так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны, а углы $\angle BCA$ и $\angle BDA$ равны, то углы $\angle BCA$ и $\angle BDA$ также равны.

Поскольку две вертикальные углы при пересечении двух параллельных прямых будут равны между собой, то полученные углы $\angle BCA$ и $\angle BDA$ также равны. Значит, биссектрисы углов $\angle 1$ и $\angle 2$ параллельны.