Для нахождения стороны квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, необходимо использовать свойство так называемого "касательного квадрата".

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3 дм и 6 дм, а катет 3 см противолежащий углу в 90 градусов.
Значит, по теореме Пифагора гипотенуза равна:
c = sqrt(3^2 + 6^2) = sqrt(9 + 36) = sqrt(45) = 3 * sqrt(5)

Теперь найдем сторону квадрата, вписанного в данный треугольник. Сначала найдем радиус вписанной окружности:
r = (a + b - c) / 2 = (3 + 6 - 3sqrt(5)) / 2 = (9 - 3sqrt(5)) / 2

Так как квадрат вписан в треугольник, радиус равен половине стороны квадрата:
s = 2r = 2 (9 - 3sqrt(5)) / 2 = 9 - 3*sqrt(5)

Итак, сторона квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 3 дм и 6 дм и имеющего общий с ним прямой угол, равна 9 - 3*sqrt(5) дм.