Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. Обозначим угол между сторонами AB и AC как alpha, угол между сторонами AB и BC как beta, угол между сторонами AC и BC как gamma.

Тогда применим теорему косинусов к треугольнику ABC:
AB^2 + AC^2 - 2ABACcos(alpha) = BC^2
64 + 289 - 2817cos(alpha) = 225
353 - 272*cos(alpha) = 225
cos(alpha) = (353 - 225) / 272 = 128 / 272 = 4 / 17

Аналогично находим cos(beta) и cos(gamma):
cos(beta) = (449 - 225) / 240 = 224 / 240 = 14 / 15
cos(gamma) = (289 - 64) / 255 = 225 / 255 = 5 / 17

Теперь зная косинусы углов, можем найти синусы углов:
sin(alpha) = sqrt(1 - cos^2(alpha)) = sqrt(1 - 16 / 289) = sqrt(273 / 289) = sqrt(273) / 17
sin(beta) = sqrt(1 - cos^2(beta)) = sqrt(1 - 196 / 225) = sqrt(29 / 225) = sqrt(29) / 15
sin(gamma) = sqrt(1 - cos^2(gamma)) = sqrt(1 - 25 / 289) = sqrt(264 / 289) = sqrt(264) / 17

Теперь можем найти радиус шара:
R = AC / (2sin(alpha)) = 17 / (2 sqrt(273) / 17) = 17 / (2 sqrt(273)) = 17 / (2 17 sqrt(3)) = 1 / (2 sqrt(3)) = sqrt(3) / 6

Теперь можем выразить объем шара через радиус:
V = 4/3 pi R^3 = 4/3 pi (sqrt(3) / 6)^3 = 4/3 pi 3sqrt(3) / 216 = pi * sqrt(3) / 54

Ответ: объем шара равен pi * sqrt(3) / 54.