Пусть радиус вписанной окружности треугольника равен r, тогда расстояние от центра окружности до каждого из концов гипотенузы равно r.

Так как описанный вокруг треугольника окружность радиусом r делит гипотенузу пополам, то согласно задачей

r + r = √5 + √10

2r = √5 + √10

r = (1/2)(√5 + √10)

Внутренний радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр треугольника, то есть

(r = \frac{S}{P/2}).

Площадь S прямоугольного треугольника равна (\frac{ab} {2}), где а и b - катеты.

Такой треугольник можно разбить на два равнобедренных прямоугольных треугольника, катеты которых равны (\sqrt5) см и (\sqrt10) см.

(S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt5 \cdot \sqrt10 = \sqrt50).

Периметр треугольника равен а + b + c, где с - гипотенуза.

Полупериметр (P = \frac{a+b+c}{2} = \frac{\sqrt5 + \sqrt10 + c}{2}).

Таким образом, (r = \frac{\sqrt50}{\frac{\sqrt5 + \sqrt10 + c}{2}} = \frac{2\sqrt50}{\sqrt5 + \sqrt10 + c})

(c = 2 \cdot \sqrt50 - 2 \sqrt5 - 2 \sqrt10 = 2 \cdot \sqrt{50} - 2 \cdot (\sqrt 5 + \sqrt 10))

(c = 2 \cdot 5 \sqrt2 - 2(\sqrt 5 + \sqrt {10}) = 10\sqrt2 - 2 \sqrt 5 - 2 \sqrt{10}).

Длина гипотенузы равна [10 \sqrt 2 - 2 \sqrt 5 - 2 \sqrt {10}.]