Для нахождения косинуса угла D найдем сначала стороны ромба ABCD.

Пусть сторона ромба равна a, тогда по теореме Пифагора для треугольника ACD с гипотенузой AC и катетом CD:

a^2 + a^2 = 12^2
2a^2 = 144
a^2 = 72
a = √72 = 6√2

Также, по теореме Пифагора для треугольника ABD с гипотенузой BD и катетом AD:

(2a)^2 + a^2 = 9^2
4a^2 + a^2 = 81
5a^2 = 81
a^2 = 81/5
a = √(81/5) = 3√5

Теперь найдем косинус угла D. Для этого воспользуемся косинусом из косинуса половинного угла:

cos(D) = √((1 + cos(2D)) / 2)

cos(2D) = (AC^2 + BD^2 - CD^2) / (2 AC BD)
cos(2D) = (12^2 + 9^2 - 6^2) / (2 12 9)
cos(2D) = (144 + 81 - 36) / 216
cos(2D) = 189 / 216
cos(2D) = 7 / 8

cos(D) = √((1 + 7/8) / 2)
cos(D) = √(15/16 / 2)
cos(D) = √(15/32)
cos(D) = √15 / 4

Итак, косинус угла D ромба ABCD равен √15 / 4.