Пусть радиус окружности равен R, а полупериметр треугольника ABC равен p.

Так как ab на 3 корня из трёх меньше полупериметра, то ab = p - 3√3.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как угол B равен 120 градусов, то угол A и C равны 30 градусов. Тогда треугольник ABC является прямоугольным.

Обозначим точку касания окружности с продолжением стороны AC как D. Треугольник BDC также является прямоугольным, и углы BCD и BAC равны друг другу.

Так как AD и DC являются касательными к окружности, то CD = BD = R.

Следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику BDC, и мы можем записать следующее уравнение:

AB/BC = BC/CD

(p - 3√3) / (2R) = (2R) / R

(p - 3√3) / 2 = 2

p - 3√3 = 4

p = 3√3 + 4

Так как мы знаем, что полупериметр равен p = (ab + bc + ac) / 2, то подставляем известные значения:

(3√3 + 4) = ((p - 3√3) + bc + (2R)) / 2

(3√3 + 4) = ((3√3 + 4) - 3√3 + bc + 2R) / 2

(3√3 + 4) = (4 + bc + 2R) / 2

2(3√3 + 4) = 4 + bc + 2R

6√3 + 8 = 4 + bc + 2R

6√3 + 4 = bc + 2R

Так как bc = 2R, то

6√3 + 4 = 3R

R = (6√3 + 4) / 3

R = 2√3 + 4/3

Итак, радиус окружности равен 2√3 + 4/3.