Для решения этой задачи нам нужно найти площадь проекции цилиндра на плоскость, проходящую через точки А и С и параллельную оси цилиндра. Зная высоту цилиндра, радиус основания и угол между осью цилиндра и плоскостью основания, мы можем найти радиус плоскости проекции и затем площадь проекции.

Из геометрии цилиндра ясно, что радиус проекции находится на прямой, проходящей через центр основания цилиндра и середину отрезка АС. Обозначим эту точку как О.

Поскольку угол между прямой АС и плоскостью основания равен 60 градусов, то угол между прямой АО и ОС также равен 60 градусов. Таким образом, треугольник АОС является равносторонним.

Проведем высоту треугольника АОС. Так как угол между высотой и стороной основания равен 90 градусов, высота будет равна r * √3, где r = 5 (радиус основания цилиндра).

Теперь можем найти расстояние между осью цилиндра и плоскостью, проходящей через точки А и С. Оно равно 2/3 от высоты цилиндра, так как точка О делит высоту цилиндра в соотношении 2:1 (из свойств равностороннего треугольника).

Итак, расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки А и С, равно 4 * √3.