Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

По теореме косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

где c - сторона против угла C, a и b - стороны треугольника, примыкающие к углу C.

Из условия известно, что угол C равен 90 градусов, cos(C) = 0.8, а сторона c равна 8. Подставим данные в формулу:

8^2 = a^2 + b^2 - 2ab * 0.8

64 = a^2 + b^2 - 1.6ab

Так как треугольник прямоугольный, сторона c будет гипотенузой, а стороны a и b - катетами. Таким образом, a и b мы ищем, зная гипотенузу и cos угла против катета.

Имеем следующую систему уравнения:

a = ab * 0.8 ↔ ab = a / 0.8

64 = a^2 + (a/0.8)^2 - 1.6 a a/0.8

64 = a^2 + (1/0.64) * a^2 - 2a^2

64 = a^2 (1 + 1/0.64 - 2)

64 = a^2 * (1.5625 - 2)

64 = a^2 * 0.5625

a^2 = 64 / 0.5625

a = sqrt(113.78)

Таким образом, сторона а равна приблизительно 10.66.