Обозначим катеты прямоугольного треугольника через (a) и (b).

Из условия задачи мы знаем, что расстояние между основаниями медианы и высоты, проведенными к гипотенузе, равно 7 см. Так как медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника, то высота также делит треугольник на два равных по площади треугольника. Значит, расстояние между основаниями медианы и высоты равно половине длины высоты.

Пусть (h) - длина высоты. Тогда

[\frac{1}{2}h = 7]
[h = 14]

Далее, по теореме Пифагора, имеем:

[a^2 + b^2 = 50^2]

Также мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения катетов:

[\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 28 = 196]

Теперь можем решать систему уравнений:

[\begin{cases} a^2 + b^2 = 50^2 \ ab = 196 \end{cases}]

Имеем:

[b = \frac{196}{a}]

Подставляем это в первое уравнение:

[a^2 + \left( \frac{196}{a} \right)^2 = 50^2]
[a^2 + \frac{38416}{a^2} = 2500]
[a^4 - 2500a^2 + 38416 = 0]

Решив это уравнение, получим два значения для (a):

[a_1 = 46]
[a_2 = 34]

Подставляя обе величины (a) обратно в уравнение (ab = 196), получаем соответственно:

[a_1 = 46, \, b_1 = 4]
[a_2 = 34, \, b_2 = 8]

Итак, катеты равны 46 и 4 или 34 и 8 (единицы измерения в сантиметрах).