Для осуществления превращений, описанных в вашем вопросе, необходимо провести следующие химические реакции:

Mg → MgO:
2Mg + O2 → 2MgO

MgO → Mg(NO3)2:
MgO + 2HNO3 → Mg(NO3)2 + H2O

Mg(NO3)2 → Mg(OH)2:
Mg(NO3)2 + 2NaOH → Mg(OH)2 + 2NaNO3

Mg(OH)2 → MgO:
Mg(OH)2 → MgO + H2O

MgO → MgCl2:
MgO + 2HCl → MgCl2 + H2O

Для превращений с алюминием (Al) аналогично проводятся соответствующие реакции:

Al → Al2O3:
4Al + 3O2 → 2Al2O3

Al2O3 → Al2(SO4)3:
Al2O3 + 3H2SO4 → Al2(SO4)3 + 3H2O

Al2(SO4)3 → Al(OH)3:
Al2(SO4)3 + 6NaOH → 2Al(OH)3 + 3Na2SO4

Al(OH)3 → Al2O3:
2Al(OH)3 → Al2O3 + 3H2O

Al2O3 → AlCl3:
2Al2O3 + 6HCl → 4AlCl3 + 3H2O

Эти реакции можно провести в лаборатории, если имеются соответствующие реактивы и оборудование.