Давайте рассмотрим вашу задачу по теории информации. У нас есть бинарный канал с шумом, описываемый условными вероятностями (p(y|x)):

[
p(y|x) = \begin{bmatrix}
0.9 & 0.1 \
0.2 & 0.8
\end{bmatrix}
]

Это значит, что:

Если на входе (x=0), то вероятности выхода (y) таковы: (p(y=0|x=0) = 0.9) и (p(y=1|x=0) = 0.1).Если на входе (x=1), то вероятности выхода (y) таковы: (p(y=0|x=1) = 0.2) и (p(y=1|x=1) = 0.8).1. Энтропия входа

Поскольку вход равновероятен, важно вычислить энтропию входного распределения (X):

[
H(X) = -\sum_{x} p(x) \log_2 p(x)
]

Для равновероятного входа:

[
H(X) = -\left( \frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{2} \right) = 1 \text{ бит}
]

2. Условная энтропия

Теперь мы можем вычислить условную энтропию (H(Y|X)):

[
H(Y|X) = -\sum{x} p(x) H(Y|X=x) = -\sum{x} p(x) \left( p(y|x) \log_2 p(y|x) \right)
]

Для каждого из входных значений (x = 0) и (x = 1):

Для (x = 0):
[
H(Y|X=0) = -\left( 0.9 \log_2 0.9 + 0.1 \log_2 0.1 \right) \approx 0.469 \text{ бит}
]

Для (x = 1):
[
H(Y|X=1) = -\left( 0.2 \log_2 0.2 + 0.8 \log_2 0.8 \right) \approx 0.721 \text{ бит}
]

Теперь вычислим условную энтропию:

[
H(Y|X) = \frac{1}{2} H(Y|X=0) + \frac{1}{2} H(Y|X=1) \approx \frac{1}{2}(0.469) + \frac{1}{2}(0.721) \approx 0.595 \text{ бит}
]

3. Взаимная информация

Взаимная информация (I(X; Y)) определяется как:

[
I(X; Y) = H(X) - H(Y|X)
]

Для этого сначала нужно вычислить энтропию выхода (H(Y)):

[
p(y=0) = p(y=0|x=0)p(x=0) + p(y=0|x=1)p(x=1) = 0.9 \cdot 0.5 + 0.2 \cdot 0.5 = 0.55
]
[
p(y=1) = p(y=1|x=0)p(x=0) + p(y=1|x=1)p(x=1) = 0.1 \cdot 0.5 + 0.8 \cdot 0.5 = 0.45
]

Теперь, вычислим (H(Y)):

[
H(Y) = -\left( 0.55 \log_2 0.55 + 0.45 \log_2 0.45 \right) \approx 0.991 \text{ бит}
]

Теперь подставим все в формулу для взаимной информации:

[
I(X; Y) = H(X) - H(Y|X) \approx 1 - 0.595 = 0.405 \text{ бит}
]

4. Обсуждение

Изменение распределения входа может увеличить пропускную способность канала. Например, если мы можем изменить входное распределение так, чтобы оно не было равновероятным (например, использовать распределение, где более вероятен (x=1), так как он имеет более высокую вероятность корректного вывода), это может привести к улучшению взаимной информации и, следовательно, увеличению пропускной способности канала.

Мы можем также empirically проверить различные распределения, чтобы найти то, которое оптимизирует выход и ведет к наибольшей взаимной информации.

Например, если распределение входа будет (p(x=0) = 0.3) и (p(x=1) = 0.7), необходимо заново пересчитать (H(Y)), (H(Y|X)), и (I(X; Y)), приведя к потенциально более высокой пропускной способности канала.

Таким образом, успешное кодирование и модуляция, основанные на статистических свойствах канала и входных данных, критически важны для оптимизации производительности коммуникационных систем.