В треугольнике АВС медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О. Точки А₂, В₂, С₂ являются серединами отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁ соответственно. Докажите, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны.
В треугольнике АВС медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О. Точки А₂, В₂, С₂ являются серединами отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁ соответственно. Докажите, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что медианы разбивают треугольник на шесть треугольников: три равнобедренных треугольника со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника, и три равносторонних треугольника, вершины которых являются серединами сторон исходного треугольника.
Так как точки А₂, В₂, С₂ являются серединами отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁, то получается, что треугольник А₂В₂С₂ – это равносторонний треугольник, вершины которого соответствуют серединам сторон исходного треугольника.
Теперь осталось доказать, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны. Заметим, что отношение длины сторон треугольника АВС к длине медианы, проведенной из соответствующей вершины, равно 2:1. Из этого следует, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны с коэффициентом подобия 2.
Таким образом, треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны.