:

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O. Докажем, что все вершины этого четырехугольника лежат в одной плоскости.

Рассмотрим треугольники AOB и COB. Поскольку у них общая сторона OB и общий угол при вершине O, мы можем сказать, что они конгруэнтны по стороне-угол-стороне (SAS). Таким образом, угол AOB равен углу COB, обозначим его как угол α.

Теперь рассмотрим треугольники AOD и COD. По тому же принципу, мы можем сказать, что они также конгруэнтны по стороне-угол-стороне (SAS), и угол AOD равен углу COD, обозначим его как угол β.

Теперь рассмотрим треугольники AOB и AOD. Поскольку у них общая сторона AO и общий угол при вершине A, мы можем сказать, что они конгруэнтны по стороне-угол-стороне (SAS). Таким образом, угол BOA равен углу DOA, обозначим его как угол γ.

Из углов α, β и γ видно, что сумма углов в каждой паре треугольников равна 180 градусов. Это свидетельствует о том, что все вершины четырехугольника ABCD лежат на одной плоскости.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, у которого продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Докажем аналогичным образом, что все вершины этого четырехугольника лежат в одной плоскости.

Аналогично предыдущему доказательству, рассмотрим углы смежных сторон четырехугольника. Так как продолжения сторон AB и CD пересекаются, у нас также получается, что сумма углов в каждой паре треугольников равна 180 градусов, что говорит о том, что все вершины четырехугольника ABCD лежат на одной плоскости.

Таким образом, мы доказали, что если диагонали четырехугольника пересекаются или пересекаются продолжения двух его несмежных сторон, то все его вершины лежат в одной плоскости.