Да, прилагательное "горький" и существительное "горе" связаны. Оба слова относятся к обозначению негативных чувств, эмоций и состояний человека. "Горький" обычно описывает чувство горечи, муки, скорби, а "горе" обозначает сильное психическое страдание, печаль, грусть. Таким образом, оба слова часто употребляются в текстах как синонимы, обозначающие чувство горькой печали или опасности.