Для того чтобы доказать, что отображение является оператором, но не является линейным, необходимо показать, что оно удовлетворяет двум свойствам: аддитивности и однородности.

Отображение (f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}) задано формулой (f(x) = x^2). Это отображение является оператором, так как оно выполняет операцию над элементами множества (\mathbb{R}), сохраняя пространственную структуру. Однако, оно не является линейным, так как не удовлетворяет условию однородности. Например, для (x = 2) и (\alpha = 2) получаем:

(f(2 \cdot 2) = f(4) = 16),

в то время как

(\alpha f(2) = 2 \cdot 4 = 8),

что не равно (16).

Отображение (T: V \to W) называется оператором, если выполнены следующие условия:

(T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)) для любых (v_1, v_2 \in V) (аддитивность)(T(\alpha v) = \alpha T(v)) для любого (v \in V) и (\alpha \in \mathbb{R}) (однородность)

Таким образом, отображение является оператором, если оно сохраняет операции сложения и умножения на число в заданных векторных пространствах.

Например, отображение (f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2), заданное формулой (f(x, y) = (x + 2, y - 1)), является оператором, так как удовлетворяет условиям аддитивности и однородности.