Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды воспользуемся формулой:

S = 1/2 p l,

где p - периметр основания пирамиды, l - высота боковой грани.

Периметр основания пирамиды можно найти, зная сторону основания и угол на вершине. Так как двугранный угол при основании равен 45 градусам и прямоугольный, то каждая сторона основания равна a, где a - сторона основания. Используем теорему косинусов:

a^2 = b^2 + b^2 - 2 b b cos(45),
a^2 = 2b^2 - 2 b^2 cos(45),
a^2 = 2b^2 - 2 b^2 sqrt(2) / 2,
a^2 = 2b^2 - b^2 sqrt(2),
a^2 = b^2 (2 - sqrt(2)),
a = b sqrt(2 - sqrt(2)).

Периметр:
p = 4 a = 4 b * sqrt(2 - sqrt(2)).

Теперь найдем длину боковой грани пирамиды. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой 4 и углом 45 градусов катет равен 4/sqrt(2), а длина грани равна:

l = sqrt(4^2 - (4/sqrt(2))^2) = sqrt(16 - 8) = sqrt(8).

Площадь боковой поверхности:

S = 1/2 p l = 1/2 4 b sqrt(2 - sqrt(2)) sqrt(8) = 2 b sqrt(2 - sqrt(2)) sqrt(8) = 16 b * sqrt(2 - sqrt(2)).

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой 4 и двугранным углом 45 градусов равна 16 b sqrt(2 - sqrt(2)).