Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, гипотенуза равна c, а проведённая высота равна h.

Из данного условия, мы получаем:
a = 6 и b = 24.

Так как проведённая высота делит гипотенузу на отрезки в отношении 6:24 = 1:4, то можно записать:
c = a + b = 6 + 24 = 30.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
S = (1/2) a b = (1/2) 6 24 = 72.

Ответ: площадь этого треугольника равна 72 квадратные сантиметры.