Производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0. Формально это можно записать как:

f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h

Для функции y= x|x| + 3 можно разбить ее на две части: одна часть x|x| будет иметь производную в точке x=0, а другая часть константа 3 не влияет на значение производной.

Рассмотрим производную части x*|x| в точке x=0:

f(x) = x|x| = x^2 при x>=0
f(x) = -x|x| = -x^2 при x<0

f'(0) = lim(h->0) (f(h) - f(0))/h = lim(h->0) ((h^2 - 0^2)/h) = lim(h->0) h = 0

Часть 3 производную не влияет.

Таким образом, производная функции y= x*|x| + 3 в точке x=0 существует и равна 0.