Для расчета площади правильной треугольной пирамиды необходимо знать высоту и апофему.

Площадь пирамиды можно найти по формуле:

S = (1/2) П ap,

где S - площадь пирамиды,
П - периметр основания пирамиды,
ap - апофема пирамиды.

Для нахождения площади пирамиды нам дана высота h = 1/3 и апофема ap = arcctg(3).

Так как у нас правильная треугольная пирамида, то треугольник на основании пирамиды равносторонний. Зная стороны треугольника, мы можем найти периметр основания по формуле:

П = 3 * a,

где a - длина стороны треугольника.

Также, по теореме Пифагора для треугольника, можно найти длину стороны:

a = 2h / tg(30°) = 2 * 1/3 / tg(30°) = 2/3 / tg(30°).

Подставив значение стороны a в формулу для П, найдем периметр основания П.

После нахождения периметра П и апофемы ap, подставим их в формулу для нахождения площади S.