Пусть у нас есть два подобных треугольника ABC и A'B'C' с коэффициентом подобия k.

Медиана треугольника это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Пусть AM, BM и CM - медианы треугольника ABC, а A'M', B'M' и C'M' - медианы треугольника A'B'C'.

Так как треугольники подобны, то можно записать следующие пропорции для каждой медианы:

AM/k = A'M', BM/k = B'M', CM/k = C'M'.

Теперь найдем отношение длин соответствующих медиан:

(AM + BM + CM)/(A'M' + B'M' + C'M') = (AM/k + BM/k + CM/k)/(A'M' + B'M' + C'M') = (AM/k + BM/k + CM/k)/(A'M' + B'M' + C'M') = (AM/k)/(A'M') + (BM/k)/(B'M') + (CM/k)/(C'M') = 1 + 1 + 1 = 3.

Таким образом, отношение длин соответствующих медиан треугольников ABC и A'B'C' равно 3, что также равно коэффициенту подобия k.