Для решения данного уравнения сначала разберемся с модулем:

Если sin(x) >= 0, то модуль|sin(x)| = sin(x)
Если sin(x) < 0, то модуль|sin(x)| = -sin(x)

Теперь подставим это обратно в уравнение и решим:

Пусть sin(x) >= 0:
sin(x) + cos(x) = 0
sin(x) = -cos(x)

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить sin(x) через cos(x) или наоборот:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1
(cos(x))^2 + cos^2(x) = 1
2(cos(x))^2 = 1
cos(x) = ±√(1/2)

Теперь найдем sin(x):
sin(x) = -cos(x) = -±√(1/2)
sin(x) = ±√(1/2)

Получаем два решения:
1) sin(x) = √(1/2), cos(x) = -√(1/2) => x = π/4 + 2πn
2) sin(x) = -√(1/2), cos(x) = √(1/2) => x = 5π/4 + 2πn

Пусть sin(x) < 0:
-sin(x) + cos(x) = 0
sin(x) = cos(x)

Также используем тригонометрические тождества:
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
sin^2(x) + sin^2(x) = 1
2(sin(x))^2 = 1
sin(x) = ±√(1/2)

Получаем два решения:
1) sin(x) = √(1/2), cos(x) = √(1/2) => x = π/4 + 2πn
2) sin(x) = -√(1/2), cos(x) = -√(1/2) => x = 3π/4 + 2πn

Итак, все решения уравнения |sin(x)| + cos(x) = 0:
x = π/4 + 2πn, 5π/4 + 2πn, 3π/4 + 2πn, 7π/4 + 2πn.