Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на заданном отрезке необходимо найти значения функции в крайних точках отрезка и в критических точках.

Вычислим значения функции в крайних точках отрезка [−7;8]:

При x = -7: y = (-7)^3 + 3(-7)^2 - 45(-7) - 2 = -64При x = 8: y = 8^3 + 38^2 - 458 - 2 = 144

Теперь найдем критические точки функции, находя места, где производная функции равна нулю или не существует:

y' = 3x^2 + 6x - 45

Найдем точки, где производная равна нулю:
3x^2 + 6x - 45 = 0
x^2 + 2x - 15 = 0
(x + 5)(x - 3) = 0
x1 = -5, x2 = 3

Вычислим значения функции в критических точках:
При x = -5: y = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2 = -62При x = 3: y = 3^3 + 33^2 - 453 - 2 = -32

Итак, наименьшее значение функции y=x^3+3x^2-45x-2 на отрезке [-7;8] равно -64, а наибольшее значение - 32.

Таким образом, минимальное значение функции достигается в точке x = -7, а максимальное значение в точке x = 8.