Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда необходимо воспользоваться формулой Коши-Адамара:

R = lim|n→∞|(1/(an))^(1/n),

где an = n^3 2^n n.

Преобразуем это выражение:

R = lim|n→∞|(1/(n^3 2^n n))^(1/n)
R = lim|n→∞|(1/(2^n n^4))^(1/n)
R = lim|n→∞|(1/(2 (n/2)^4))^(1/n)

Так как (n/2)^4 < n^4 при n > 0, выражение можно упростить:

R = lim|n→∞|(1/(2 n^4))^(1/n)
R = lim|n→∞|1/(2 n^4)^(1/n)
R = 1/2

Таким образом, радиус сходимости степенного ряда ∑n=1∞(x−5)n3n2n равен 1/2.