Пусть радиус окружности, вписанной в прямоугольный равнобедренный треугольник, равен r, а длина гипотенузы равна c. Тогда известно, что расстояние от центра окружности до основания треугольника равно r, а также расстояние от центра окружности до вершины треугольника равно r. Таким образом, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника.

Получаем, что основание каждого из этих треугольников составляет c/2, а катет (полупериметр треугольника) равен (c/2 - r).

Теперь можем записать теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:

r^2 + (c/2 - r)^2 = r^2

Упростив это уравнение, получим:

r = c/4

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольный равнобедренный треугольник, равен половине длины гипотенузы.

Поэтому площадь окружности равна:

S = π r^2 = π (c/4)^2 = π * c^2 / 16.