Для начала найдем радиусы вписанных окружностей в основания пирамиды. Для этого воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности r = a√2 / (2 + √2), где a - длина стороны основания. Таким образом, для внутреннего основания радиус будет r1 = 2√2 / (2 + √2) и для внешнего основания r2 = 8√2 / (2 + √2).

Теперь можем найти боковое ребро пирамиды b:
b = √(h^2 + (r2 - r1)^2) = √(4^2 + (8√2 / (2 + √2) - 2√2 / (2 + √2))^2) = √(16 + (6√2)^2) = √(16 + 36 * 2) = √(88) = 2√22 см.

Апофема (высота пирамиды) h находим по формуле:
h = √(b^2 - (r2 - r1)^2) = √((2√22)^2 - (8√2 / (2 + √2) - 2√2 / (2 + √2))^2) = √(88 - (6√2)^2) = √(88 - 36 * 2) = √(88 - 72) = √16 = 4 см.

Итак, боковое ребро пирамиды равно 2√22 см, а апофема равна 4 см.

Высота правильной шестиугольной пирамиды можно найти, используя формулу для высоты правильной усеченной пирамиды:
h = (a * √3) / 2, где a - длина стороны основания, √3 - корень квадратный из 3.

Таким образом, высота шестиугольной пирамиды будет равна:
h = (a √3) / 2 = (a √3) / 2.

Например, если дана сторона основания а = 6 см и боковое ребро b = 8 см:
h = (6 * √3) / 2 = 3√3 см.

Итак, высота шестиугольной пирамиды равна 3√3 см.