Для того чтобы корень уравнения был целым числом, необходимо чтобы выражение под корнем было полным квадратом.

Уравнение дано: ax = 5 + 2x

Выражение под корнем - это правая часть уравнения: 5 + 2x

Чтобы выражение 5 + 2x было полным квадратом, 2х должно быть равно квадрату какого-то числа.

Представим это в виде уравнения: 5 + 2x = k^2

где k - целое число.

Далее решаем уравнение:

2x = k^2 - 5

x = (k^2 - 5) / 2

Таким образом, значения a, при которых корень уравнения ax=5+2x является целым числом - это a, равные квадрату целого числа k, а также k^2 - 5 делится на 2 без остатка.