Докажем утверждение методом математической индукции:

База индукции: Рассмотрим степень 15^1. 15 делится на 7 с остатком 1.

Шаг индукции: Предположим, что для произвольной натуральной степени n деление 15^n на 7 дает остаток 1.

Докажем, что утверждение верно для степени n+1. Рассмотрим выражение 15^(n+1) = 15^n * 15. По предположению индукции 15^n делится на 7 с остатком 1, поэтому можно записать 15^n = 7k + 1 для некоторого целого k. Подставим это выражение в выражение 15^(n+1):

15^(n+1) = (7k + 1) * 15 = 105k + 15

Теперь разделим полученное выражение на 7:

(105k + 15) / 7 = 15k + 2 + 1

Таким образом, остаток от деления выражения 15^(n+1) на 7 равен 1.

Таким образом, по принципу матиматической индукции, доказано, что деление произвольной натуральной степени 15 на 7 дает остаток 1.