Для того чтобы сумма S(n) = 1 + 2 + ... + n давала остаток 1 при делении на 5, необходимо чтобы количество членов в сумме было кратно 5, иначе результат будет делиться на 5 без остатка.

Таким образом, мы ищем все натуральные числа n, которые удовлетворяют условию n = 5k, где k - натуральное число.

Таким образом, все такие числа будут иметь вид n = 5, 10, 15, 20, ...

Значит, все натуральные числа n, для которых сумма S(n) = 1 + 2 + ... + n дает остаток 1 при делении на 5, будут иметь вид n = 5k, где k - натуральное число.