Для упрощения задачи удобно представить все числа в виде квадратных корней:

1/(√9+√12) = 1/(3+2√3) = 1/(3+2√3) * (3-2√3)/(3-2√3) = (3-2√3)/(9-12) = (3-2√3)/(-3) = (2√3-3)/3

1/(√12+√15) = (2√3-3)/3

Таким образом, каждое слагаемое равно (2√3-3)/3, их всего 6 штук.

Итого:
(2√3-3) * 6 / 3 = 4√3 - 6 = 2(2√3 - 3) = 2/(√9 + √12) + 2/(√12 + √15) + ... + 2/(√222 + √225) = 2/(3 + 2√3) + 2/(√12 + √15) + ... + 2/(√222 + 15) = 4√3 - 6.