Для того, чтобы корень уравнения был равен ( \frac{1}{6} + \sqrt{2} ), в уравнении должен присутствовать множитель ( x - \left( \frac{1}{6} + \sqrt{2} \right) ).

Таким образом, квадратное уравнение будет иметь вид:

[ (x - \left( \frac{1}{6} + \sqrt{2} \right))(ax + b) = 0 ]

где a и b - некоторые коэффициенты.

Раскрыв скобки, получим:

[ ax^2 + (b - a \left( \frac{1}{6} + \sqrt{2} \right))x - b \left( \frac{1}{6} + \sqrt{2} \right) = 0 ]

Теперь можем составить уравнение, например, с коэффициентами a = 6 и b = 6:

[ 6x^2 + (6 - 6 \left( \frac{1}{6} + \sqrt{2} \right))x - 6 \left( \frac{1}{6} + \sqrt{2} \right) = 0 ]

[ 6x^2 + (6 - 1 - 6\sqrt{2})x - 1 - 6\sqrt{2} = 0 ]

[ 6x^2 + 5 - 6\sqrt{2} - 6x - 1 - 6\sqrt{2} = 0 ]

[ 6x^2 - 6x + 4 - 12\sqrt{2} = 0 ]

Таким образом, получаем квадратное уравнение:

[ 6x^2 - 6x + 4 - 12\sqrt{2} = 0 ]