Для доказательства возрастания функции на промежутке (-∞; 0], найдем производную функции f(x) и проверим ее знак на данном промежутке.

f(x) = 6 - x^2
f'(x) = -2x

Теперь найдем значения производной на промежутке (-∞; 0]:
f'(x) < 0 при x < 0

Таким образом, на промежутке (-∞; 0] производная функции f(x) отрицательна, что означает убывание функции на этом промежутке.

Аналогично, для доказательства убывания функции на промежутке [0; +∞), также найдем производную функции f(x) и проверим ее знак на данном промежутке.

f(x) = 6 - x^2
f'(x) = -2x

Теперь найдем значения производной на промежутке [0; +∞):
f'(x) > 0 при x > 0

Таким образом, на промежутке [0; +∞) производная функции f(x) положительна, что означает возрастание функции на этом промежутке.

Итак, функция f(x) = 6 - x^2 возрастает на промежутке (-∞; 0] и убывает на промежутке [0; +∞).