Для нахождения производной функции f(x) = 3 + 9x^2 - x^3, найдем производные слагаемых по отдельности.

f'(x) = d/dx (3) + d/dx (9x^2) - d/dx (x^3)
f'(x) = 0 + 18x - 3x^2
f'(x) = 18x - 3x^2

Теперь для того чтобы доказать, что функция f(x) возрастает, необходимо показать, что ее производная положительна на всей области определения.

f'(x) = 18x - 3x^2
f'(x) = 3x(6-x)

Производная f'(x) имеет два корня при x = 0 и x = 6. Построим таблицу знаков:

x | -∞ | 0 | 6 | +∞
f'(x) | - | + | - | +

Таким образом, функция f(x) = 3 + 9x^2 - x^3 возрастает на всей области определения.